Мультифракталы — это «составные», «неоднородные» или «комплексные» фракталы, в построении которых задействовано несколько последовательно сменяющих друг друга алгоритмов. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью.

Мультифрактал — обобщение фрактала, для описания которого недостаточно одной размерности. Вместо нее требуется много размерностей.

Чтобы пояснить, что такое мультифрактал, рассмотрим примеры.

Если кривая состоит из линии Коха с D = 1,261 и линии Гивена с D =1.465, то из уравнения

численным решением находим D = 1,226. Интересно, что в данном случае имеем точное решение:

Мультифрактальная размерность линии, составленная из кривой Коха и кривой Гивена

Если двухмерный «ковер Серпинского» на основе квадратов имеет фрактальную размерность D = ln8/ln3 = 1,893..., а двухмерный «ковер Серпинского» на основе треугольников имеет фрактальную размерность D = ln3/ln2, то полученная на их основе мультифрактальная фигура будет иметь фрактальную размерность D = 1,4483...

Размерность, вычисляемая по формуле

R1D + R2D = RD,

называется мультифрактальной.

«Ковры Серпинского»: а — квадратный; б — треугольный; в — мультифрактальная фигура

Построение двухмасштабного канторовского стержня с l1 = 1/4 и l2 = 2/5. Фрактальная размерность такого канторовского множества D = 0,6110

В тонком слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки, происходит каскад бифуркаций и формируется фрактальное множество точек бифуркаций — пыль с интересными и нетривиальными свойствами (в литературе используются также термины «критический аттрактор» или «аттрактор Фейгенбаума»). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет

Так как фрактальная размерность критического аттрактора меньше единицы, можно заключить, что он имеет нулевую меру, если ее понимать как предел суммарной длины интервалов, оставляемых на последовательных уровнях построения. В то же время, как и канторово множество, он обладает мощностью континуума. Последнее вытекает из того, что можно построить правило кодирования принадлежащих аттрактору точек в виде мультифрактала с двумя масштабами r и d. Довольно хорошей аппроксимацией критического аттрактора служит двухмасштабное канторово множество.

Тот факт, что результат асимметричен, объясняется присутствием двух характерных масштабов — ? и ?. При этом с высокой степенью точности структура фрактала описывается одним параметром — коэффициентом Фейгенбаума:

Эта универсальность является следствием того обстоятельства, что толщина аттрактора Фейгенбаума исчезающе мала (?r->0), и, следовательно, масштаб фиксации величины ? несоизмерим (много больше) с масштабом фиксации величины ?, так что влияние последней можно в первом приближении игнорировать.

1. Бифуркация Фейгенбаума.

2. График сигма-функции Фейгенбаума.

3. «Дьявольская лестница» Кантора.

4. Двухмасштабное канторово множество, построенное с использованием факторов 1/? и 1/?2

Для критического аттрактора факторы масштабного подобия оказываются разными в разных областях пространства состояний. В частности, вблизи точки экстремума — это константа Фейгенбаума ?, а в наиболее удаленной точке — константа ?2. Чтобы полностью охарактеризовать весь набор масштабных соотношений, Фейгенбаум предложил ввести сигма-функцию ?(t), которая определяет свойства в разных точках траектории. На рисунке показан график этой функции, полученный в результате численного эксперимента. Из рисунка видно, что сигма-функция имеет фрактальную структуру и содержит разрывы во всех точках, представляемых в двоичной системе конечными дробями. Структурно она напоминает фрактал «дьявольская лестница» Кантора. Справедливы предельные соотношения