– -165

Так, например, при q->? основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц ni в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения рi. Наоборот, при q->– ? основной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения рi. Таким образом, функция dq показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек А.

Например, размерность d0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. Информационная размерность d1 представляет собой энтропию фрактального множества и показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ? к нулю. Корреляционная размерность d2 определяет зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества А лежат внутри одной ячейки с размером ?.

Важно понимать, что размерности Реньи не являются фрактальными размерностями. При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной запыленностью. Мультифрактальный спектр состоит из ячеек с одинаковой вероятностью запыленности (рi ~ ?a). Таким образом,

мультифрактал — это объединение однородных фракталов.

Факт неравномерной структуры заполнения пространства находит свое отражение в понятии «скважности». Еще в «Технической энциклопедии» П. А. Флоренского в статье «Скважность» сказано, что скважность есть общее свойство твердых тел, сводящееся к неравенству локальных значений занимаемого ими объема. И далее Флоренский поясняет:

«Под объемом физического тела разумеется область непроницаемости, обусловленная присутствием этого тела. Понятие объема без признака непроницаемости в отношении физического тела не может быть построено. Но признак непроницаемости соотносит понятие объема с тем приемом, посредством которого устанавливаются границы области, непроницаемой для данного испытания».

«Скважность» есть понятие более глубокое, чем «пористость». Далее у Флоренского мы читаем:

«Скважность принадлежит к числу более глубоких характеристик физического тела, определяющих его свойства не только в количественном, но и в качественном отношении. При этом решающим здесь оказывается топологическое строение скважин, а затем соотношение между собой геометрических размеров как скважин, так и целого тела».

Эти идеи нашли свое техническое воплощение в теории перколяции, которой посвящена следующая глава.

Термин «перколяция» происходит от латинского слова percolare, которое означает «просачиваться» или «протекать». В физике и химии — это процесс протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы.

Перколяция — основной способ производства настоек. Перколяция проводится следующим образом. Подлежащее извлечению измельченное сырье смачивают в отдельном закрытом сосуде (перколяторе) достаточным количеством экстрагента, добавляя его до полного и равномерного смачивания сырья. Оставляют все это на 4 часа, после чего набухший материал плотно укладывают в перколятор и при открытом спускном кране добавляют такое количество экстрагента, чтобы слой его (зеркало) над поверхностью составлял 30-40 мм. Вытекающую из крана жидкость наливают обратно в перколятор, закрывают кран и оставляют на 24 часа, затем медленно перколируют, спуская за 1 час объем жидкости, соответствующий примерно 1/48 используемого объема перколятора, до получения необходимого количества настойки.

Теория перколяции описывает поведение связных структур, состоящих из отдельных элементов — кластеров. Кластер представляет собой дискретную решетку с узлами и связями. Когда все узлы заблокированы или все связи закрыты, то поток через кластер прекращается. Когда они открыты, по связям через узлы идет ток. При каком-то критическом значении «открытости» происходит «перколяционный» переход, являющийся аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности такого перехода.

Своим появлением теория перколяции обязана работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. В середине пятидесятых годов прошлого века Бродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применения угля. Столкнувшись с математической проблемой, Бродбент привлек математика Джона Хаммерсли.

Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes).