Шрифт:
• Если С является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (пример 3).
• Если С является любой другой точкой границы кардиоиды или точки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (пример 4).
В фундаментальной математической работе в 1983 году американец Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность — так называемые кольца Эрмана. Они названы так в честь американского математика Михаила Эрмана, первым построившего этот тип множеств Фату в 1979 году.
Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа. Множество Мандельброта окружено шипами и иглами, похожими на антенны. Если мы поместим С на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа, по форме подобные иглам. При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества Мандельброта содержит множество маленьких копий всего множества Мандельброта. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. На рисунке показан пример С = i. Такие дендриты не имеют внутренности, но сохраняют связность. До тех пор, пока С принадлежит множеству Мандельброта, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади и Джона Хамала Хаббарда множество Мандельброта также связно.
Оператор приближения «zoom», примененный к фракталу Мандельброта
Если взять значение C вне множества Мандельброта, то единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое «пылью Фату». Эта пыль становится все мельче с удалением точки С от множества Мандельброта. Если С находится вблизи границы множества Мандельброта, то пыль образует завораживающие семейства, такие как дендриты с бусинками и ряды морских коньков.
Выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси позволяет сгладить разрывы и сделать картину перехода более плавной, более непрерывной. Иллюстрацией этому служит связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. В первом случае С — комплексное число. Во втором случае С — действительное число. Как видно из рисунка на следующей странице, бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне.
Открытие Мандельбротом универсальной формы, фрактала Мандельброта, радикально изменило отношение между простым и сложным. Теперь сложность стала проявлением простоты, а простота стала необходимым условием сложности.
Типичные множества Жюлиа для процесса Z-> Z2 + С:
а) параболический случай; при подходящем произвольно малом изменении С: маргинально устойчивая неподвижная точка превращается в притягивающий цикл периода 20;
б) параболический случай С = -1.25: С > - 1.25: притягивающий цикл периода 2; С < -1.25: притягивающий цикл периода 4;
в) связное множество Жюлиа (притягивающий цикл периода 3) незадолго до превращения в канторово множество (см. рис. е);
г) пыль Фату;
д) дендрит, С = i;
е) Канторово множество, получающееся из рис. 6 при малом изменении параметра С.
Пыль Фату:
а) Дендрит с бусами. Множество Жюлиа для значения С из вторичного множества Мандельброта;
б) Множество Жюлиа при некотором значении С из долины морских коньков.
Связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. Бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне
Клеточные автоматы
Алекс Беллос, автор книги «Красота в квадрате», пишет: