Еще более трудно представить сложную динамику множеств Жюлиа, не прибегая к компьютерной графике. Не менее сложно предсказать, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении параметра С.

Исследование Мандельброта позволило преодолеть эти трудности. Ученый нашел и построил границу, внутри которой каждой точке соответствует то или иное связное множество Жюлиа. Любой точке за пределами этой границы соответствует такое множество Жюлиа, которое как бы рассыпается на бесконечное число оторванных друг от друга фрагментов.

Представим себе некоторый путь, начинающийся внутри множества Мандельброта и заканчивающийся вне его. Если менять С, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические изменения происходят с множествами Жюлиа тогда, когда наш путь пересекает границу множества Мандельброта. Здесь, на границе, множества Жюлиа, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества Мандельброта определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа.

Эта граница занимает область в диапазонах

и

Множество Мандельброта для процесса Z->Z2+C. Показана часть комплексной C-плоскости -2,4 < Re C < 0,8; -1,5< Im C < 1,2

Различным зонам множества Мандельброта отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа.

Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения С, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки.

На действительной оси множества Мандельброта реализуется Ферхюльстов сценарий удвоения периода. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая примыкает к основному телу с левой стороны и размещается в интервале на действительной оси:

Точка С = -2 является крайней точкой антенны множества Мандельброта.

Мы видим, что по сравнению с анализом на действительной оси выход в комплексную плоскость дает более полную картину перехода от связного порядка к разрыву и хаосу.

На что же похоже множество Жюлиа для значений С из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу?

Один из примеров представляет собой параболический бассейн около неподвижной точки при

Это значение С соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки, когда С переходит внутрь почки.

Параболический бассейн около неподвижной точки С = -0,481762 - 0,531657i

Помимо точек прорастания почек основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Неподвижная точка будет устойчивой для

В отличие от параболического случая, граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е., выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях.

Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, точек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Диск Зигеля около неподвижной точки и его прообразы при С = -0,39054 - 6,58679 i

Описанные выше четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная отображением Z -> Z2 + С, охватывает область с внутренними точками.

Итак:

• Если С лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (пример 1).

• Если С лежит внутри одной из точек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (пример 2).