Шрифт:
Эти две величины задают максимальное и минимальное значения из всего набора масштабных факторов и отвечают окрестности, соответственно, экстремума и крайней точки критического аттрактора.
Таким образом, граница между порядком и хаосом представляет собой слой, в котором монофрактальные структуры со стороны порядка трансформируются в мультифрактальные структуры на стороне хаоса.
Пример 5. Мультифрактал Серпинского
Рассмотрим треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ. Система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех преобразований на комплексной плоскости, каждое из которых выбирается с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Допустим, однако, что в методе случайных итераций мы теперь по какой-то причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника и стали выбирать ее с вероятностью 90%. Две же остальные вершины равноценны, и на их долю приходится по 5%. Точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. Тем не менее основное свойство фрактала — самоподобие — по-прежнему соблюдается, фрактальная размерность сохраняется:
Такое совпадение заставляет заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного. Такое обобщение понятия размерности реализовано в обобщенных размерностях Реньи (см. далее), которые в частном случае при равенстве всех размерностей Реньи между собой описывают классический монофрактал, а при их различности — мультифрактал. Рассмотрим некоторую «популяцию», состоящую из «особей», распределенных по объему А с характерным линейным размером L. Распределение ошибок в канале связи может служить примером одномерной популяции. Распределение народонаселения на поверхности Земли — пример двухмерной популяции, а пространственное распределение энергии в турбулентном потоке — пример трехмерной популяции. Точки таких популяций часто подвержены пространственным флуктуациям. Например, золото встречается в высоких концентрациях лишь в немногих местах, в более низких концентрациях — в существенно большем числе мест и в очень низких концентрациях — почти повсюду. С исследованием распределения физических или каких-нибудь других величин на геометрическом носителе связаны мультифрактальные меры.
Треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ
Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной ? и объемом ?d соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N(?) число таких ячеек, оно очевидно зависит от ?. Пусть ni(?) — число точек в i-й ячейке. Тогда величина
есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i– м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки.
По правилу нормировки вероятностей:
Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:
где -? ? q ? +?.
Выдающийся венгерский математик Альфред Реньи как-то высказался:
Он сам был таким «автоматом». После него осталось более трехсот пятидесяти публикаций по теории вероятностей, математической статистике, теории информации, комбинаторике, теории графов, теории чисел и математическому анализу. С октября 1946-го по июнь 1947 года он проходил докторантуру в Ленинградском отделении Математического института им. В. И. Стеклова. За полгода он овладел русским языком и блестяще защитил диссертацию. С 1950 года и до конца жизни А. Реньи возглавлял созданный им Математический институт Академии наук Венгерской Народной Республики. В начале 1960-х годов он обратился к теории размерностей. Появились и стали общепринятыми такие понятия, как размерности Реньи и энтропия Реньи.
Согласно формальному определению спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А, называется совокупность величин:
где
Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. Если dq = const, т. е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной — фрактальной размерностью dH. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.
Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией ?(q), определяющей поведение статистической суммы Z(q, ?) при ?– > 0. Следует иметь в виду, что предельный переход при ?– >0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N– >0.
В случае обычного фрактала функция является линейной.
Тогда все dq = d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности dq которого совпадают, часто используется термин «монофрактал». Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то перед нами мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей dq, число которых, в общем случае, бесконечно.