Шрифт:
За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ — диэлектрика и металла.
Самым существенным в теории перколяций являются так называемые критические явления. Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений состоит в том, что
Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счет теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что, глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определенными свойствами.
Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решеток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией проявляет себя в теории перколяции.
Основное положение теории перколяции заключается в предположении, что существует порог протекания, вблизи которого все параметры системы степенным образом зависят от близости к этому порогу.
Для иллюстрации рассмотрим «переход через болото». Перепрыгивая с кочки на кочку, иногда удается преодолеть болото. Это возможно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии. И это не даст возможности пересечь болото. Существует критическая плотность nс расположения кочек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Вблизи порога протекания все параметры системы степенным образом зависят от разности ?n = n - nс. Когда n >> пc, кочки расположены достаточно плотно, и путник в конце концов преодолеет болото. Если п < пс, то кочки расположены далеко друг от друга, и путник не сможет прыгать по ним. Вблизи n ? nс путник может и не пройти болото. Все теперь зависит от размеров путника и от распределения расстояний между кочками на болоте. Сопряжение этих параметров описывается различными фрактальными размерностями.
1. Перколяционный кластер и его остов. Задача узлов на квадратной решетке. Узлы остова отмечены черным цветом; узлы, принадлежащие мертвым концам, — серым.
2. Перколяционный кластер, его полный и внешний периметры.
Перколяционный кластер является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи — одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера — объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов — объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.
Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал — Шкловского — де Жена.
В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ?, т. е. ? является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.
Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины
Первые три шага построения иерархической модели
Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ?.