Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров — совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z3– 1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня — в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, — это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют:

«Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов».

Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.

Будучи предопределенной, она непредсказуема.

Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку — маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.

После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте — и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале — фрагмент странного аттрактора.

Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое — это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.

Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:

геном контролирует феном.

Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.

В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!

Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.

Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.

В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные — данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта — это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.

Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто: