Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа — символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.

Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.

Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea — «золотое сечение», — скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.

Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух — быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения

Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А — A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 — 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.

Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.

Так, если бы «Оскара» стали присуждать иррациональным числам, то, вне сомнений, больше всего их соберет число ? — отношение длины окружности к ее диаметру.

И эта вездесущесть числа ? связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.

Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.

Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия

Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°

Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.

Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».

Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)

Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.

Итого 24 преобразования

В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.