Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадет с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского». При этом радиус попадания каждой следующей точки в окрестность точки фрактала Серпинского уменьшается экспоненциально. Например, так. На 10-м шаге размеры радиуса попадания составляют 2– 10 или 10– 3 метра. Одна тысячная метра — миллиметр. Такое различие вполне различимо невооруженным глазом. Но уже на 30-м шаге получим размеры 2– 30 или 9 х 10– 10 метра. Для тех, кому эти цифры мало что говорят, скажем, что это примерно равно размеру атома, и заметить такое отличие можно только в самый мощный современный электронный микроскоп. Согласитесь, что такое попадание можно считать точным и полным с практической точки зрения.

Неудивительно, что, брызгая краской на холст без строгих и четких правил, вам не повторить полотен Джексона Поллока.

Для повторения необходимо организованное пространство (холст, краски, кисти), алгоритм действий и еще, самое главное, — дух Джексона Поллока. Дух — это абстрактная, нематериальная субстанция. И если она оставляет свой след, то это символический знак, такой как фрактальная размерность.

Слева направо: окружность, вписанная в пятиугольник; остров Коха; побережье Мальдив

Фрактальная размерность есть число, которое не выводится из геометрических пропорций фрактала, и это отличает ее от пифагорейского инварианта окружности — числа ? (Пример 1). Фрактальная размерность не выводится из алгоритма построения фрактала, и это иллюстрируют ветвление деревьев и слияния рек, рассмотренные Леонардо да Винчи (Пример 2). Фрактальная размерность выражает и структуру, и алгоритм, как это интерпретирует пример Мандельброта — формирование бронхиальной системы (Пример 3).

Тот факт, что отношение длины окружности к ее диаметру есть инвариант (число ?), был истолкован пифагорейцами как манифест связности и единства мира. Пугала, впрочем, иррациональность этого числа, его несоразмерность, его неповторимость притом, что оператор расчета представлял собой сплошное повторение. Сначала в окружность вписывался правильный треугольник, потом квадрат, потом шестиугольник, и так далее. Чем больше число сторон вписанного многоугольника n->?, тем ближе результат к пределу

т.е. длина окружности конечна: L = ?D.

Здесь сам инвариант (число ?), будучи символом, представляет собой отношение длины к диаметру окружности ? = L/D. Фрактальная кривая, например, остров Коха, отличается от окружности тем, что она, будучи ограниченной, не имеет конечной длины. Кривая Коха в целом и любой ее фрагмент имеют бесконечную длину:

Льюис Ричардсон изучал протяженность береговой линии западного побережья Британии. Эксперименты свидетельствовали, что длина береговой линии возрастает с уменьшением масштаба измерения, в пределе — до бесконечности. В процессе измерения мы имеем дело с функционалом. В математике понятием «функционал» обозначают оператор, который отображает многообразие (пространство) функций в числовое множество. Функционал может быть рассчитан, например, интегрированием функции в определенном диапазоне параметров. В этом смысле результат измерения длины береговой линии есть функционал, и он зависит от процесса измерения.

Леонардо да Винчи открыл, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу ниже их уровня. Рассмотрим ствол дерева диаметром d, который разделяется на две главные ветви с диаметрами d1 и d2. Леонардо да Винчи считал, что для беспрепятственного движения соков вверх по дереву поперечные сечения двух главных ветвей в сумме должны быть равны поперечному сечению ствола:

То же самое соотношение выполняется в месте слияния двух рек, если d — ширина рек. Установлено, что ширина d реки пропорциональна квадратному корню из количества воды Q, переносимого рекой: d ~ Q0.5. Однако глубина реки t, как правило, изменяется в соответствии с законом t ~ Q0.4. Возникающая разница восполняется за счет увеличения скорости течения v, которая пропорциональна Q0.1. Иначе говоря, река, образовавшаяся от слияния двух притоков одинаковой величины и несущая, таким образом, вдвое больший объем воды в секунду, обычно в 1,4 раза шире каждого из своих притоков, но лишь в 1,3 раза глубже их. Скорость же течения реки приблизительно в 1,1 раза больше, чем скорость течения притоков. Разумеется, 1,1 х 1,3 х 1,4 = 2. Таким образом, в обобщенной форме для реки: