Нами замечено, что, в отличие от линейного фрактала Коха, форма нелинейного фрактала Мандельброта чувствительна к величине математического ожидания, что отлично иллюстрируют алеаторные фракталы Мандельброта, приведенные на верхнем рисунке (с. 208).

Наконец, самый наглядный эффект влияния случайных возмущений на форму фрактала в целом показан на последнем рисунке. Здесь мы видим, что главные кардиоида и круг радикально изменяют свою форму при изменении случайного воздействия. Появляются совершенно новые формы — символы, напоминающие сердце, знак пик, знаки слияния и разделения.

Алеаторный фрактал Мандельброта при u = 0:

а) в полном изображении при ? = 0; ? = 0,042 и ? = 0,073 соответственно;

б) в увеличенном фрагментарном изображении в прямоугольнике Xmin = -1,5; Хтах = +0,5 и Ymin = -1,0; Ymax = + 1,0 при ? = 0; ? = 0,05; ? = 0,07 и ? = 1,0

Алеаторные фракталы Мандельброта при ? = 0 и u = 0,03; u = 0,1; u = 0,3; u = 0,5 соответственно

Любая модель, будучи абстракцией, не столько отражает реальность как она есть, сколько служит инструментом для выявления реальности как она должна стать. Аттрактор в фазовом пространстве динамической системы — это пример того, что с высокой степенью вероятности может стать реальностью. Аттрактор может быть точкой, кругом, тором или фракталом.

Фрактал может служить иллюстрацией описанных представлений, в которых формальное (имеющее форму), действенное (процесс) и символическое (инвариант) образуют единое согласованное целое. Форма фрактала и алгоритм построения фрактала «некоммутативны» в том смысле, что они не зависят друг от друга. Чтобы они сцепились, чтобы активировался тот или иной алгоритм и чтобы появилась та или иная форма, нужен своего рода резонанс. Если структура алгоритма, структура формы и структура внешних условий входят в согласие, появляется фрактал. Алгоритм работает, форма появляется, окружение не сопротивляется. Фрактал есть репрезентация того, что структурирована не форма сама по себе и не алгоритм сам по себе, но организация формы, алгоритма и внешних условий. Эффект такого резонансного поведения формы, алгоритма и внешних условий символизирует появление символического кода — фрактальной размерности.

Фрактальная размерность — символический инвариант фрактальной структуры, особый вид симметрии — как бы симметрия формы относительно масштаба. Фрактальная размерность есть число, присущее всему фракталу и любому фрагменту фрактальной структуры. Фрактальная структура — это сложная и незавершенная конструкция. Каждый фрагмент фрактала есть одновременно элемент фрактала большего масштаба и организующий блок для структур меньшего масштаба. Мы сталкиваемся с такой бесконечной регрессией структур, у которой есть одна глобальная структура, которая поглощает все остальные. Эффект самозаглатывания лежит в основе принципа неполноты. Этот эффект обеспечивает открытость системы. В открытой системы нет никакой пред-данности, хотя это не отменяет предрасположенности. Открытость наделяет случай влиятельной силой.

Реальность одновременно и регламентирована, и алеаторна, она постоянно рассчитывает саму себя притом, что она не обязательно подчиняется тем или иным аксиомам. Все изменяется и одновременно всегда что-либо остается неизменным. Случай способен разрушить алгоритм и форму. Но он же способен склеить и сохранить совершенно разные логики и привести к построению совершенно новой, непредсказуемой и невообразимой формы. В умелых руках, на экране монитора конусы, окружности и квадраты гибко и пластично мнутся, ломаются и превращаются в горный ландшафт, листья папоротника, облака или вспышку молнии. Вся эта магия происходит в результате расчета на основе алгоритма.

Реальность не обязана быть алгоритмизированной. И это ведет нас к представлениям о «фрактале с переменной размерностью». Можно вообразить возможность изменения набора алгоритмов построения фрактала по случаю в интервале неопределенности между построением двух соседних точек фрактала. При этом сохраняется существенное требование, а именно: фрактал должен сохранять свою целостность в том смысле, что каждый его фрагмент согласован с любым другим фрагментом этого фрактала после фиксации любого шага построения фрактала. В каждой точке процесса построения фрактала перед нами незавершенный, но внутренне согласованный фрактал, которому присуща своя определенная фрактальная размерность. Технически такая связность сохраняется, если фрактал имеет переменную размерность, изменение которой непрерывно. Но это тема будущих исследований...

1. Barnsley М., Superfractals, Cambridge University Press, New York, Melbourne, 2006.

2. Barnsley M., Fractals Everywhere, Academic Press, New York, 1988. 535 p.

3. Божокин С. В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследовании, 2002.

5. Мандельброт Б. Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.

6. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 254 с.

7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2001.

8. Мамфорд Д., Райт Д, Сирис К. Ожерелье Индры. Видение Феликса Клейна. Пер. с англ., под ред. О. В. Шварцмана. — М.: Издательство МЦНМО, 2011.

9. Hutchinson J. Fractals and Self Similarity // Indiana Univ. Math. Journal. Vol. 30, №. 5. 1981.

10. Lauwerier H.A. Fractals — images of chaos. — Princetion Univ. Press. 1991.