После появления работ Мандельброта стало ясно, что странный аттрактор есть траектория в поле фрактала. Открытия Мандельброта и Лоренца запустили процесс, в результате которого ученые и инженеры изменяют представление о мире вокруг нас. Физики, биологи, психологи, геологи, химики и механики на всех направлениях применяют фрактальную геометрию и хаотическую динамику для построения моделей, симуляций и манипуляций процессами и явлениями. Феномен настоящего заключается в том, что новые методы позволили вторгнуться на территорию, ранее неизвестную, — в область хаоса, турбулентности и свернутых пространств.

Хаотическим режимам присуща нерегулярность и, как следствие, непредсказуемость. Режим динамического хаоса и предопределен, и регулярен, но также непредсказуем. Динамический хаос ассоциируется с наличием странных аттракторов — сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из своего бассейна. Попав в область странного аттрактора, близкие траектории демонстрируют быстрое «разбегание» притом, что фазовый объем динамической системы не увеличивается. Любая сколь угодно малая область фазового пространства, выделенная в начальный момент, со временем «перемешивается», «распыляется» по всей области странного аттрактора. Происходит своего рода стирание памяти о начальном состоянии системы. Обратной стороной этого процесса является невозможность предсказания поведения системы в будущем в силу сверхчувствительной зависимости режима к сколь угодно малым отклонениям начальных условий. Именно это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределенной, ведет себя непредсказуемо.

Согласно принятым сегодня представлениям такой режим регулярного хаоса наступает при выполнении трех условий:

1. Существует, по крайней мере, одна плотная орбита. Плотная орбита — это такое скопление точек, в любой окрестности каждой из которых со временем появится точка той же орбиты.

2. Имеет место квазипериодическое возвращение траекторий, которому сопутствуют неустойчивость, нелинейность и перемешивание.

3. Наблюдается существенная зависимость поведения траекторий от начальных условий.

Поясним понятие плотной орбиты. Еще Лейбниц утверждал, что линией как паутиной можно покрыть плоскость. В этом случае для любой точки на плоскости найдется сколь угодно близкая точка такой линии. В 1891 году появилась статья немецкого математика-универсала Давида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Для любой точки этой линии, в любой сколь угодно малой ее окрестности со временем появится точка, принадлежащая той же самой линии. Кривая Гильберта, таким образом, иллюстрирует плотную орбиту.

Построение кривой Гильберта. Шаги 1,2,3,5, 7

Что же такое «квазипериодическое возвращение траекторий»? Рассмотрим поведение нелинейной динамической системы с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения в силу неустойчивости режима. Будь система линейной, возмущение могло бы возрастать до бесконечности. В большинстве реальных диссипативных систем нарастание возмущений имеет предел. При больших отклонениях изменяется характер сил, определяющих поведение системы, и возмущение начинает затухать. Система начинает возвращаться в исходное состояние.

Однако возвращение точно в то же состояние маловероятно, так как система неустойчива. С большей вероятностью система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться.

Например, так. Пусть у нас есть пружина, для которой зависимость амплитуды отклонения ? (х) от исходного состояния х определяется соотношением

где k и b — положительные коэффициенты. Пусть х = 0 — точка неустойчивого равновесия. Если x<<1, то Ьх3<<kх и слагаемым Ьх3 можно пренебречь. Тогда

В этом случае ? (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх3 пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение ? (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение ? (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил. Согласитесь, что это совсем другой уровень точности. В этом смысле системе все труднее идентифицировать свое начальное состояние. Система как бы теряет память вследствие локальной неустойчивости, но при этом сохраняет «грубую» структурную устойчивость. Суть «грубой» устойчивости в том, что при малом изменении параметра изменяются детали поведения динамической системы, но принципиально режим поведения системы сохраняет свою грубую структурную идентичность.