Шрифт:
^2-ib
c
u
=
1
p
x
,
^2-ib
c
v
=
1
p
y
,
^2-ib
c
=
1
p
z
.
(3)
Из уравнений (3) и (2) следует
^2p=0.
(4)
Полагая
u
=
i
cb
p
x
+
u
1
,
v
=
i
cb
p
y
+
v
1
,
=
i
cb
p
z
+
1
,
(5)
получаем
^2-ib
c
u
1
=0
,
^2-ib
c
v
1
=0
,
^2-ib
c
1
=0
,
(6)
и
u1
x
+
v1
y
+
1
z
=0
.
(7)
Введём полярные координаты r и (x=r cos , y=r sin ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости и . С помощью соотношений
t
=
cos - sin ,
u
=
sin + cos ,
t
1
=
1
cos -
1
sin ,
u
1
=
1
sin +
1
cos ,
x
=
cos
r
–
sin
1
r
,
y
=
sin
r
+
cos
1
r
,
(8)
из равенств (5) получаем
=
i
cb
p
r
+
1
,
=
i
cb
1
r
p
+
1
;
(9)
из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ^2=^2/r^2 + (1/r)/r + (1/r^2)^2/^2 + ^2/z^2 находим
^2-ib
c
1
–
1
r^2
–
2
r^2
1
=0,
^2-ib
c
1
–
1
r^2
–
2
r^2
1
=0
(10)
и
1
r
+
1
r
+
1
r
1
+
1
z
=0.
(11)
Полагая, что p, , , и соответственно 1, 1, 1 имеют вид f(r)ein+ibz, из уравнения (4) получаем
^2p
=
^2p
r^2
+
1
r
p
r
–
p
n^2
r^2
+b^2
=0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при r=0, имеет вид
p=
AJ
n
(ibr)e
in+ibz
,
(12)
где Jn функция Бесселя n-го порядка. Из уравнений (6) имеем
^2-ib
c
1
=
^22