Шрифт:
Если же поставить перед собой именно эту последнюю задачу, то возникает необходимость рассмотреть некоторые вопросы, не обсуждавшиеся в исследовании Рэлея, поскольку при этом нужно иметь уверенность, во-первых, в достаточной разработанности теории, а во-вторых, в том, что в изучаемом явлении с достаточной точностью выполняются предположения, положенные в основу теоретического рассмотрения.
В настоящей работе произведена попытка осуществления намеченной программы.
Несмотря на большие преимущества указанного метода определения поверхностного натяжения, он используется пока что не очень широко. Кроме Рэлея 1 до настоящего времени этот метод применяли лишь Ф. Пиккар 2 и Г. Мейер 3 для относительных измерений. К моменту завершения настоящей работы в печати появилась работа П. Педерсена 4 на эту тему.
1 Rayleigh. Ргос. Roy. Soc., 1890, XLVII, 281.
2 Piccard. Archives d. Sc. Phys. et Nat. (Gen`eve), (3), 1890, XXIV, 561.
3 Meyer. Wied. Ann., 1898, LXVI, 523.
4 P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, 341.
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУИ
Теория колебаний цилиндрической струи жидкости около её равновесной формы развита Рэлеем для случая, когда амплитуда колебаний бесконечно мала и жидкость не обладает вязкостью.
Уравнения, полученные Рэлеем, могут рассматриваться как хорошее приближение в случае, когда амплитуда и коэффициент вязкости малы; однако, если эти уравнения используются для точного определения коэффициента поверхностного натяжения, существенно знать степень точности этого приближения в реальных условиях. Поэтому в первой части настоящего исследования мы попытаемся уточнить теорию путём внесения поправок, учитывающих конечность амплитуды и вязкость.
РАСЧЁТ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ
Под влиянием вязкости колебания струи будут затухать. Если задача заключается в отыскании закона убывания амплитуды, то при малом коэффициенте вязкости это можно приближённо сделать с помощью простого учёта рассеянной энергии. Некоторые авторы 5 считают, что связанные с учётом вязкости поправки к длине волны (или периоду колебаний) в подобном случае могут быть найдены прямо из логарифмического декремента затухания амплитуды волны с помощью формулы T1=T(1+^2/4^2) 1/2 , где T1 — период затухающих колебаний, а T — период незатухающих колебаний. Однако использование такой формулы мне представляется неправильным. Дело в том, что эта формула получена для случая, когда единственное различие уравнений движения для консервативной системы (a^2q/t^2+cq=0) и для неконсервативной системы (a^2q/t^2+bq/t+cq=0) связано с введением диссипативного члена; это справедливо для малых свободных колебаний тела с одной степенью свободы.
5 См.: P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, стр. 346, а также:
Ph. Lenard. Wied. Ann., 1887, XXX, стр. 239, где рассматривается измерение коэффициента поверхностного натяжения воды по методике колебаний капель.
В нашей же задаче коэффициент инерции a не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе a зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).
Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не 2, а 3/2.
Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем 1 для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу n=0.
1 Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.
Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид
^2u-
Du
Dt
=
p
x
,
^2v-
Dv
Dt
=
p
y
,
^2w-
Dw
Dt
=
p
z
,
(1)
u
x
+
v
y
+
w
z
=
0,
(2)
где u, v, w — компоненты скорости, p — давление, — плотность, — коэффициент вязкости и
^2
=
^2
x^2
+
^2
y^2
+
^2
z^2
,
D
Dt
=
t
+u
x
+v
y
+w
z
.
В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим w=c+. Считая, что u, v и w имеют вид f(x,y)•eibz и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем