Задача эта, возникшая еще в глубокой древности, до сих пор имеет огромное практическое значение. Решают ее с помощью так называемого интегрального исчисления. Интеграл — это предел, к которому стремится сумма бесконечно большего числа бесконечно малых слагаемых. С помощью интегралов можно вычислить площади и объемы фигур, ограниченных кривыми линиями или плоскостями. Делают это так: сначала всю фигуру разбивают на узкие прямоугольники. Площадь прямоугольника вычислить легко, поэтому, сложив сумму площадей всех прямоугольников, мы получим приближенное значение площади фигуры. Разумеется, чем больше прямоугольников и чем меньше площадь каждого из них, тем точнее будет результат. А самый точный результат будет тогда, когда прямоугольников бесконечное множество. В этом случае сумма их площадей стремится к пределу, ограниченному кривой, то есть к интегралу. Таким же образом вычисляются объемы, длины дуг и т. д.

Сложность интеграла зависит от формы кривой, ограничивающей площадь. Абелевы интегралы относятся к очень сложным кривым и в порядке возрастания сложности имеют несколько рангов — первый, второй, третий и т. д. Решить интегралы Абеля — значит упростить их, найти приемлемые формулы.

Задачей упрощения абелевых интегралов второго ранга занимался профессор Кенигсбергер, у которого училась Ковалевская. Софья Васильевна упростила еще более сложные интегралы — третьего ранга.

Свою третью работу Ковалевская посвятила форме кольца Сатурна.

Сатурн, единственная в солнечной системе планета, опоясанная кольцом, которое имеет вид тора (баранки). Но каково поперечное сечение кольца? Французский математик и астроном Лаплас в своем труде «Небесная механика» предположил, что кольцо Сатурна состоит из нескольких тонких, не влияющих одно на другое жидких колец, и определил его поперечное сечение как эллипс.

Ковалевская нашла более точное решение этой задачи. Она определила, что поперечное сечение кольца Сатурна, чтобы оказаться в установившемся равновесии, должно было в жидком состоянии принять яйцеобразную форму, то есть форму овала, симметричного только одной прямой. Эта работа Ковалевской была опубликована в немецком астрономическом журнале, затем подробно изложена французским астрономом Тиссераном в курсе небесной механики, а основной результат, касающийся поведения жидкой массы, включен в курс гидродинамики Ламба.

В 1873 году Софья Васильевна была вынуждена прервать занятия с Вейерштрассом и уехать в Швейцарию. Настолько плохо было ее здоровье. Сказались непосильная работа и до сих пор неустановившиеся отношения с мужем. Врачи ей настоятельно рекомендовали пожить в местности с мягким климатом, и Софья Васильевна выбрала Цюрих. Там жила Анна с мужем, и туда же собирались родители.

Двусмысленность положения чрезвычайно тяготила Софью Васильевну. Приехавшие в Цюрих родители своими хотя и деликатными вопросами о ее семейных делах еще больше осложняли ей жизнь.

«…Я положительно не намерена кормить их баснями, — писала Ковалевская мужу, — мне и без того в разговорах с ними постоянно приходится краснеть, когда разговор коснется какой-нибудь из множества басен, которые мы им совсем ненужным образом наврали». Софья Васильевна приглашала мужа приехать и вместе разобраться в их отношениях.

Владимир Онуфриевич пообещал, но приехать не смог: был очень занят.

Пока Ковалевская создавала свои блестящие математические работы, Владимир Онуфриевич тоже самозабвенно трудился, его ум, мысли и сердце захватила палеонтология.

Выбрав палеонтологию позвоночных, он с увлечением занялся ею: «Только тут мы можем сделать что-нибудь разумное… все это даст и даже отчасти дает нам разумная палеонтология, и мне кажется, это поле — очень благодарное для будущего пятидесятилетия», — писал он брату.

Владимир Онуфриевич уехал в Вену, чтобы получить там диплом доктора. Действительно, его работа была признана важнейшей палеонтологической работой последних двадцати пяти лет и получила заслуженную известность.

В 1872 году Йенский университет выдал Ковалевскому докторский диплом. Казалось, все идет хорошо, Ковалевский собирался работать в России, но на родине его подстерегала неожиданная неудача.

Незадолго до поездки в Россию он отрицательно отозвался о работе некоего И. Ф. Синцова, а обстоятельства сложились таким образом, что сдавать магистерский экзамен в России, без которого Ковалевский не мог быть допущен к работе, ему пришлось у того же Синцова, который не простил обиды и провалил его на экзамене по геологии и палеонтологии. Совершенно обескураженный неудачей, Владимир Онуфриевич снова поехал за границу. Венские и мюнхенские профессора приняли у него экзамены по палеонтологии и геологии и дали самые высшие оценки. Но на врагов ученого это не произвело никакого впечатления. Тогда Ковалевский напечатал «Заметку о моем магистерском экзамене» и опубликовал лестные отзывы принимавших у него экзамены профессоров. О многих его злоключениях Софья Васильевна не подозревала и удивлялась, почему муж не может оторваться от своих дел и повидаться с ней. И она писала ему письма, полные упреков. Владимир Онуфриевич не знал, что ему делать, — он чувствовал, что они с Софьей Васильевной разные люди, но в то же время он любил ее и готов был делать все, чтобы облегчить ей жизнь. Поэтому он и не посвящал жену в свои невеселые и сложные дела.

Ковалевский даже написал ей иносказательное письмо, что согласен дать развод, взяв на себя всю вину. Однако Софья Васильевна не приняла этой жертвы.

«…если я когда-нибудь верну себе мою свободу, о которой, впрочем, менее сокрушаюсь, чем вы думаете, то это будет моими собственными силами и притом главным образом с целью вернуть вам вашу…» — немедленно ответила она.

Постепенно их письма начали делаться все более теплыми и дружескими. Они снова стали поверять друг другу свои радости и неудачи, делиться результатами своей работы, и у обоих крепло убеждение, что им надо быть вместе.