Наконец, аксиомами нашего исчисления (по существу теми же, что в Principia Mathematica [4] являются следующие четыре формулы [5] ;

1. (p p) p

[если p или p, то p];

2. p (p q)

[если p, то p или q];

3. (p q) (q p)

[если p или q, то q или p];

4. (p q) ((r р) (r q))

[если p влечет q, то (r или p) влечет (r или q)].

Здесь вначале приведены аксиомы, а в квадратных скобках указаны их «переводы» на обычный язык [6] .

Каждая из приведенных аксиом представляется довольно-таки «очевидной» и тривиальной.

Если, конечно, иметь в виду некоторые «естественные переводы» (т. е. интерпретации!) аксиом, самих по себе никакого «смысла» не имеющих. Аналогичное замечание следует иметь в виду при чтении следующей фразы текста и всюду в аналогичных случаях далее. — Прим. перев.

Тем не менее из них с помощью сформулированных выше двух правил преобразования можно вывести бесконечное множество теорем, многие из которых трудно назвать очевидными или тривиальными. К числу таких теорем относится, скажем, формула

((p q) ((r s) t)) ((u ((r s) t)) ((p u) (s t))).

В данный момент нас, однако, не интересует вывод теорем из аксиом. Цель наша состоит в том, чтобы показать непротиворечивость этой системы аксиом, т. е. дать «абсолютное» доказательство невозможностивывода из данных аксиом с помощью правил преобразования никакой формулы S одновременно с ее формальным отрицанием ~S.

Оказывается, что к числу теорем нашего исчисления относится формула «p (~ p q)» (выражаемая словесно следующим образом: «если p, то не p влечет q»). (Мы примем этот результат к сведению, не проводя фактического его доказательства.) Допустим, что некоторая формула S, так же как и ее отрицание ~ S, выводима из аксиом. Подставляя тогда S вместо переменной «p» в только что упомянутую теорему (пользуясь правилом подстановки) и применяя затем дважды modus ponens, мы получим, что теоремой является и формула «q».

Подставляя S вместо (p) в «p (~ p q)», мы получим сначала «S (~ S q)». Беря затем эту формулу и формулу S в качестве посылок modus ponens, получим «~ S ~ q». Наконец, из последней формулы и ~ S также по modus ponens получим формулу «q».

Но если формула, состоящая из одной-единственной переменной «q», является теоремой, то поскольку вместо «I» можно подставить любую формулу, то любая формула нашего исчисления оказывается выводимой из аксиом. Отсюда видно, что если какая- либо формула S вместе со своим отрицанием ~ S является теоремой рассматриваемого исчисления, то в нем теоремой является любая формула. Короче говоря, каждая формула противоречивого исчисления является теоремой — из противоречивой системы аксиом можно вывести любую формулу. Но этот же результат можно выразить и в «обратной» форме: если не каждая формула исчисления является теоремой (т. е. имеется хотя бы одна формула, не выводимая из данных аксиом), то это исчисление непротиворечиво. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы показать, что имеется по крайней мере одна формула, не выводимая из рассматриваемой системы аксиом.

Задача может быть решена посредством некоторого метаматематического рассуждения о рассматриваемой системе. Идея такого рассуждения весьма прозрачна. Суть ее сводится к нахождению некоторого структурного свойства формул данной системы, удовлетворяющего следующим трем условиям:

(1) Свойство это должно выполняться для всех четырех аксиом.

(2) Свойство это должно быть «наследственным» по отношению к правилам преобразования; иначе говоря, если оно присуще всем аксиомам, то оно должно принадлежать и любой формуле, выводимой из этих аксиом. А поскольку формула, выводимая из аксиом, есть, по определению, теорема, то данное условие сводится к тому, что искомым свойством должна обладать каждая теорема.