При всем сказанном теорему Гёделя отнюдь не следует расценивать как некое основание для интеллектуального пессимизма или оправдания мистических представлений о разуме. Обнаружение того факта, что для любой формальной системы существуют арифметические истины, которые нельзя в ней формально доказать, вовсе не означает наличия каких-то совершенно непознаваемых истин или же что роль строгого доказательства отныне должна занять некая «мистическая» интуиция, заслуживающая большего доверия, чем применяемые нами формы интеллектуального исследования. Не означает оно и утверждаемой некоторыми мыслителями «принципиальной ограниченности человеческого мышления». Означает оно лишь то, что возможности нашего мышления не сводятся к полностью формализуемым процедурам и что нам еще предстоит открывать и изобретать новые принципы доказательств. Мы ведь видели уже, что истинности некоторых математических утверждений, не выводимых из данного множества аксиом, можно тем не менее установить при помощи метаматематических рассуждений. И утверждать, что для обоснования таких формально недоказуемых (но устанавливаемых посредством метаматематических рассуждений) истин можно в лучшем случае рассчитывать лишь на интуицию, было бы совершенно безответственно.

Констатированные выше ограничения возможностей вычислительных машин не свидетельствуют и о беспочвенности надежд на объяснение явлений жизни и человеческого мышления в физико-химических терминах. Сама по себе теорема Гёделя не отвергает и не подтверждает возможности такого рода объяснений. Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из гёделевской теоремы о неполноте, состоит что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин. И работа самого Гёделя является замечательным примером этой тонкости и богатства, дающим повод отнюдь не для уныния, а, наоборот, для самых смелых надежд на силу творческой мысли.

Курт Гёдель — крупнейший специалист по математической логике — родился 28 апреля 1906 г. в Брюнне (ныне г. Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию, был доцентом в 1933–1938 гг. После аншлюса эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работает в Принстонском институте высших исследований (с 1953 г. — профессор этого института). Гёдель — почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества.

В 1951 г. К. Гёдель удостоен высшей научной награды США — Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал [21] : «Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это — больше, чем просто монумент, это веха, разделяющая две эпохи… Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки».

Действительно, даже сухой перечень достижений Гёделя в математической логике показывает, что их автор по существу заложил основы целых разделов этой науки: теории моделей (1930 г.; так называемая теорема о полноте узкого исчисления предикатов, показывающая, грубо говоря, достаточность средств «формальной логики» для доказательства всех выражаемых на ее языке истинных предложений), конструктивной логики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения некоторых классов предложений классической логики к их интуиционистским аналогам, положившие начало систематическому употреблению «погружающих операций», позволяющих осуществлять такое сведение различных логических систем друг к другу), формальной арифметики (1932–1933 гг.; результаты о возможности погружения классической арифметики в интуиционистскую, показывающие в некотором смысле непротиворечивость первой относительно второй), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934 г.; определение понятия общерекурсивной функции, сыгравшего решающую роль в установлении алгоритмической неразрешимости ряда важнейших проблем математики, с одной стороны, и в реализации логико-математических задач на электронно-вычислительных машинах — с другой), аксиоматической теории множеств (1938 г.; доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы Кантора от аксиом теории множеств, положившее начало серии важнейших результатов об относительной непротиворечивости и независимости теоретико-множественных принципов).

Но даже если бы на «счету» Гёделя не было ни одного из таких замечательных достижений, достаточно было бы одной его работы, чтобы имя ее автора составило целую эпоху в истории науки. Именно этой двадцатипятистраничной статье двадцатипятилетнего автора и посвящена книжка известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, переведенная на большинство европейских языков.

Среди довольно многочисленной к настоящему времени популярной литературы по математической логике книга Нагеля и Ньюмена выделяется своей «целенаправленностью». Не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, авторы строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.

Стремясь к популярности изложения, авторы допускают ряд неточностей технического характера. Немногочисленные их замечания философского характера также представляются несколько поверхностными. Необходимость восполнения таких дефектов наряду с требованием уложиться в жестко ограниченный объем заставила переводчика несколько сократить текст за счет некоторых длиннот, повторений и отступлений. Местами сокращения удалось добиться ценой некоторой перекомпоновки материала. Все эти отступления от оригинала специально нами не оговаривались. Опущены также предметный указатель и библиография: читатель может найти дополнительные ссылки по заинтересовавшим его вопросам по монографии С. К. Клини «Введение в метаматематику» (пер. с английского, М.: Изд-во иностр. лит., 1957; 2-е изд. М.: URSS, 2009).

Ю. А. Гастев