Шрифт:
Число z оказывается суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда каждое простое число pi вида 4п + 3 входит в разложение в четной степени.
Примеры. Число z = 198 = 2 • З2 • 11 не является суммой двух квадратов, так как 11 имеет вид 4n + 3 и входит в разложение в первой степени.
Число z = 194 = 2 • 97 является суммой двух квадратов, так как ни один из его простых множителей не является числом вида 4n + 3. Действительно, z = 132 +52.
Вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения всех чисел z, которые могут быть гипотенузами простейших треугольников Пифагора. Такое число z должно быть представимо в виде z = m2 + n2, где числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8). Необходимым и достаточным условием для этого является следующее: каждый из простых множителей числа z должен иметь вид 4n + 1. Доказательство этого утверждения мы вновь опускаем.
Примеры. z = 41. Это число легко представить в виде суммы двух квадратов искомого вида, z = 52 + 42, так что m = 5, n = 4 и x = 40, у = 9, z = 41 выражают длины сторон соответствующего треугольника.
z = 1105 = 5 • 13 • 17. Существуют четыре представления этого числа в виде суммы двух квадратов:
1105 = ЗЗ2 + 42 = 322 + 92 = 312 + 122 = 242 + 232.
Стороны соответствующих треугольников вычислите самостоятельно.
Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)
х = 2mn, у = m2 — n2, z = m2 + n2.
Например, можно искать треугольники Пифагора с заданной площадью А. Если такой треугольник является простейшим, то его площадь равна
А = 1/2 ху = mn (m — n) (m + n). (5.3.8)
Здесь три из четырех множителей нечетны. Нетрудно видеть, что они попарно взаимно простые. Поэтому, чтобы найти все возможные значения чисел m и n, можно выделить из числа А два взаимно простых нечетных множителя k и k (k > l), положив
m + n = k, m — n = l,
что дает
m = 1/2 (k + l), n = 1/2 (k — l).
После этого мы проверяем, удовлетворяют ли эти числа условиям (5.3.8).
Рассуждения несколько упрощаются, если заметить, что два множителя в выражении (5.3.8) могут равняться 1 только в единственном случае:
m = 2, n = 1, A = 6.
Действительно, два множителя в (5.3.8) могут быть равны 1, только если
n = m — n = 1,
что и дает указанное выше значение.
Пример. Найдем все треугольники Пифагора с площадью А = 360. Разложение числа А на простые множители таково: A = 23 32 • 5. Число А может быть единственным образом записано в виде произведения четырех взаимно простых множителей: А = 8 • 1 • 5 • 9. Если мы ищем простейший треугольник, то m + n = 9. Однако если m = 8, то n = 1 и m — n = 7, но А не делится на 7, а вторая возможность (n = 8, m = 1) исключается условием > n. Поэтому такого треугольника не существует.
Этот результат не исключает возможности существования треугольников с площадью А = 360, не являющихся простейшими. Следующее соображение может быть использовано в общем случае для нахождения треугольников заданной площади, не являющихся простейшими. Если длины всех сторон треугольника имеют общий делитель d, т. е. могут быть записаны как
dx, dy, dz,
то его площадь равна
А = 1/2 dx dy = d2mn (m — n) (m + n).